已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形, AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.

(1)  证明：BF⊥DE；

⑵ 当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

答案

（1）直棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1B1B为正方形

所以A1B1=B1B=AB=BC=2

所以侧面BB1C1C为正方形

取BC中点M，连接B1M和EM

因为F为CC1重点，所以B1M⊥BF

由已知BF⊥A1B1

且A1B1B1M=B1

所以BF⊥平面A1B1M

由于E为AC中点，所以EM∥A1B1

所以EM平面A1B1M，所以BF⊥DE

（2）由（1）可知，A1B1⊥BF，且A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面B1BCC1

以B为原点，BC，BY，BB1为xyz轴建立空间直角坐标系

设C（2，0，0），A（0，-2，0），B1（0，0，2）

C1（2，0，2），A1（0，-2，2），E（1，-1，0），F（2，0，1），D（0，n，2）

则向量EF=（1，1，1），向量FD=（-2，n，1）

设向量m⊥平面BB1C1C，则向量m=（0，1，0）

向量n⊥平面DEF，则向量n=（x，y，z）

知识扩展

是各个侧面的高相等，底面是三角形，上表面和下表面平行且全等，所有的侧棱相等且相互平行且垂直于两底面的棱柱。上下表面三角形可以是任意三角形。正三棱柱是直三棱柱的特殊情况，即上下面是正三角形