一节习题课的尝试 深圳市竹林中学/甘继凤摘自：《初中数学教艺网》八年级数学（下）北师大版第六章第216页布置了两道习题，即A组第6题和B组第2题。编者在这里设置了两级引导学生探究的好台阶，提供了教师发掘教材的好机会。可是，很多师生只是把它们作为两道习题，一解而过，而没有去探究、去挖掘，没有从这里体会数学曲径通幽处的奥妙，无异于入宝山而空手归。而我也是大姑娘上轿----头一回尝试去这样上习题课。走上讲台，我像以往一样，面带微笑，眼睛扫视了一遍课室。接着我先疏通有关知识，然后，出示了这样一道题：如图（1），直线MA∥NB，点P在MA和NB之间，求证：∠APB=∠MAP+∠NBP。学生很快就作出来了。接着，我又问当点P在MA和NB之外时[如图（2）]又会有什么结果？ 没一会，学生就得出了结论：∠MAP=∠NBP+∠APB（证明略）。我又问当点P位置不同时,你们还能就本题作出什么猜想？同学们这时议论纷纷。有同学提出来：当点P在MA和NB之间[如图（3）]时，有∠MAP+∠PBN+∠APB=360°。 有同学补充道：当点P在MA和NB之外时[如图（4）]，有∠NBP=∠MAP+∠APB。师：很好。请同学们对比图（2）与图（4），看看它们有什么相同和不同？生：虽然两个结论形式上不一样，但它们没有本质的不同。师：可看作是同一种类型吗？。生：我想应该可以。师：那我们就把它们归结为一种类型好了。课上到这里，同学们认为这道习题也差不多了。我话锋一转，请同学们再想一想如果在MA和NB之间有两个点P ₁ 、P ₂ 呢？你又会发现什么样的结论呢？同学们有的盯着黑板，有的低头思考，个个若有所思。这时有同学悄悄说道（虽然声音很小，但我还是听见了）：好像有两种不同的情况。那请你们想一想，每种情况下有什么结论？同学们又议论开了，积极性好像比开始更高了。过了几分钟后，有同学举手回答：P ₁ 、P ₂ 两点有两种不同的位置关系,如图（5）和图（6）所示： 在图（5）中，添加了如图所示的辅助线（用虚线表示）有∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ B--∠MAP ₁ --∠NBP ₂ =180°。以下虚线都表示辅助线，限于篇幅，证明过程这里略写。在图（6）中，有∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ B+∠NBP ₂ =540°我说：很好！P ₁ 、P ₂ 两点的位置还有没有别的情况呢？这时，有同学补充道：P ₁ 、P ₂ 两点的位置还可能是如图（7）或图（8）所示， 在图（7）中，有∠NBP ₂ +∠P ₁ P ₂ B+∠MAP ₁ －∠AP ₁ P ₂ =180°在图（8）中，有∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠NBP ₂ －∠P ₁ P ₂ B=180°师：非常好！这两种情况有没有共同地方？一阵沉默以后，有学生答道：从式子的结构看形式是一样的。那么，P ₁ 、P ₂ 两点的位置除了在MA和NB之间外，还有没有其他情况呢？我又问道。学生又是议论纷纷，过了一会儿有学生说：P ₁ 、P ₂ 两点的位置还可能是如图（9）所示,这时有∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ B－∠NBP ₂ =180°。当点P ₁ 、P ₂ 在NB下面时，也有同样的结论。 一堂课到这里时间也差不多了，所得结果早已超出了我的想象。虽然这节课只讲了两道题，但从这两道题上学生所学到的数学方法与知识远不是两道题这么简单。同学们积极参与，通过动脑、动手、自主探究、互相合作，获得了知识，进一步感受到了分类、归纳、对比等数学方法的魅力。这正是新课标的目的与要求。快下课了，我要同学们简单归纳这节课的收获就准备下课，可看到同学们似乎还意犹未尽，为了进一步激发学生学习数学的热情，我又提出：如果增加到3个点、4个点……n个点，情况又会是怎样的呢？有兴趣的同学不妨试试看。几天后，几个对数学非常感兴趣的“尖子生”说他们已经探索出了规律。现把他们的思想整理后在这里与大家交流。随着点的增多，并考虑到规律性，主要分为三种类型：第一种：如图（1）和图（5）所示的这一类型。当MA和NB之间有3个点（1、2个点的情况上面已讨论）P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 时，如图（10），这时有：∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ B－∠MAP ₁ －∠NBP ₃ =360°=（3－1）180° 当MA和NB之间有4个点P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ 时，如图（11）这时有：∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ P ₄ +∠P ₃ P ₄ B－∠MAP ₁ －∠NBP ₄ =540°=（4－1）180°……依此类推，当MA和NB之间有n个点P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ ……P _n （顺次连接点A、P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ ……P _n 、B、A所组成的多边形为凸n边形）时,有∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ P ₄ +……+∠P _n－1 P _n B－∠MAP ₁ －∠NBP _n =（n－1）180°(Ⅰ)，显然当n=1、2时(Ⅰ)式都成立。第二种：如图（3）和图（6）所示的这一类型。当MA和NB之间有3个点（1、2个点的情况上面已讨论）P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 时，如图（12），有∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ B+∠NBP ₃ =720°=（3+1）180°当MA和NB之间有4个点P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ 时，如图（13），有∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ P ₄ +∠P ₃ P ₄ B+∠NBP ₄ =900°=（4+1）180°…… 依此类推，当MA和NB之间有n个点P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ ……P _n （顺次连接点A、P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ ……P _n 、B、A所组成的多边形为凸n边形）时,有∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ P ₄ +……+∠P _n－1 P _n B+∠NBP _n =（n+1）180°(Ⅱ)显然当n=1、2时(Ⅱ)式都成立。第三种：如图（4）和图（9）所示的这一类型。当MA和NB之外有3个点P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 时，如图（14），有∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ B－∠NBP ₃ =360°=（3－1）180° 当MA和NB之间有4个点P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ 时，如图（15）有：∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ P ₄ +∠P ₃ P ₄ B－∠NBP ₄ =540°=（4－1）180°……依此类推，当MA和NB之间有n个点P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ ……P _n （顺次连接点A、P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ ……P _n 、B、A所组成的多边形为凸n边形）时,有∠MAP ₁ +∠AP ₁ P ₂ +∠P ₁ P ₂ P ₃ +∠P ₂ P ₃ P ₄ +……+∠P _n－1 P _n B－∠NBP _n =（n－1）180°(Ⅲ)，显然当n=1、2时(Ⅲ)式都成立。以上是我在教学中的一些收获。虽然只是初次尝试，甚至学生的探究结论还是不很完善，但我已经非常满足了！面对我们这些很一般的孩子能有这样的“成果”，这已远远超出我的想象了，对我来说看着这些孩子一天天成长、成熟、进步，心里真是比吃了蜜还甜。从这节习题课的教学中让我深深体会到，只要老师深入挖掘教材，在课堂上合理创设问题情境，充分调动学生的学习积极性，敢于大胆尝试，也许孩子们会给我们带来更多的惊喜！让老师和同学们都能亲身经历成功的感觉，何乐而不为？！