4.9 函数 的图像

第一课时

（一）教学具准备

直尺、投影仪．

（二）教学目标

掌握由

（三）教学过程

1．设置情境

函数 （ 、 、 是常数）广泛应用于物理和工程技术上、例如，物体作简谐振动时，位移 与时间 的关系，交流电中电流强度 与时间 的关系等，都可用这类函数来表示．我们知道，图像是函数的最直观的模型，如何作出这类函数的图像呢？下面我们先从函数 与 的简图的作法学起．（板书课题）—函数 与 的图像．

2．探索研究

（可借助多媒体）

（1）函数 与 的图像的联系

【例1】画出函数 及 （ ）的简图．

解：函数 及 的周期均为 ，我们先作 上的简图．

列表并描点作图（图1）

	0
	0	1	0	－1	0
	0	2	0	－2	0
	0		0		0

利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图．

的图像与 的图像之间有何联系？请一位同学说出 的值域和最值．

生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的． ， 的值域是 ，最大值是2，最小值是－2．

师： 的图像与 的图像有何联系？并请你说出 的值域和最值．

生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍，（横坐标不变）而得到的， ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．

师：由例1中 、 与 的图像的联系，我们来探求函数 （ 且 ）的图像与 的图像之间的联系．

函数 （ 且 ）的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 ）到原来的 倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为振幅变换，它是由 的变化而引起的， 叫做函数 的振幅． ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．

（2）函数 与 的图像的联系

【例2】作函数 及 的简图．

解：函数 的周期 ，因此，我们先来作 时函数的简图．

列表：

	0
	0
	0	1	0	－1	0

函数 的周期 ，因此，我们先作 时函数的简图．

列表：

	0
	0
	0	1	0	－1	0

描点作图（图2）

师：利用函数的周期性，我们可将上面的简图向左、右扩展，得出 ， 及 ， 的简图．

请同学们观察函数 与 的图像间的联系及 与 的图像间的联系．

生：在函数 ， 的图像上，横坐标为 （ ）的点的纵坐标同 上横坐标为 的点的纵坐标相等，因此 的图像可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的．

同样， 的图像可以看做把 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）而得到的．

师：由例2中， 、 与 的图像的联系，请你探求函数 （ 且 ）的图像与 之间在联系．

生：函数 （ 且 ）的图像，可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的．这种变换称为周期变换，它是由 的变化而引起的， 与周期 的关系为 ．

3．演练反馈（投影）

1．画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图

（1） （2）

2．函数 ， 的周期是什么？它的图像与正弦曲线有什么联系．

3．说明如何由 ；由

参考答案：

1．

2．周期是 ，把 的图像上每个点的横坐标伸长 倍（纵坐标不变）即得 的图像．

3． 的图像沿 轴方向压缩 得 的图像（纵坐标不变）；把 的图像上纵坐标缩短 倍（横坐标不变），即得 的图像．

4．总结提炼

（1）用“五点法”作 或 的简图时，先要确定周期，再将周期四等份，找出五个关键点：0， ， ， ， ，然后再列表、描点、作光滑曲线连接五个点．

（2） 的图像可以看做是把正弦曲线 图像经过振幅变换而得到．

（3）函数 的图像可以看作是把 实施周期变换而得．

（4）作图时，要注意坐标轴刻度， 轴是实数轴，角一律用弧度制．

（四）板书设计

1．函数 与 的图像的联系 例1 联系 2．函数 与 的图像的联系

例2 联系 小结：演练反馈 总结提炼