二倍角的正弦、余弦、正切（第一课时）

（一）教学具准备
投影仪或多媒体设备

（二）教学目标
1．掌握 、 、 公式的推导，明确 的取值范围．
2．运用二倍角公式求三角函数值．

（三）教学过程
1．设置情境
师：我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，请大家回忆一下这组公式的来龙去脉，并请一个同学把这六个公式写在黑板上，
生：



师：很好，对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去理解它，另一方面要从公式的结构特点上去记忆，还要注意公式的正用、逆用和变用．今天，我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式
2．探索研究
师：请大家想一想，在公式 、 、 中对 、 如何合理赋值，才能出现 、 、 的表达式，并请同学把对应的等式写在黑板上．
生：可在 、 、 中，令 ，就能出现 、 、 ，对应表达式为：



即：


师：很好，看来本节课的主要任务，已经被大家轻松完成了．对于公式 ，我们似乎要注意些什么？大家想一想要关注什么？
生：要使 有意义及 ， 有意义．
师： 有意义即 ， ．
，即 ，也就是 ，可变为 ．
要使 有意义，则须 ．
综合起来就是 ，且 ， ．当 时，虽然 的值不存在，但 的值是存在的，这时求 的值可利用诱导公式，即 ．
师：对于 ，还有没有其他的形式？
生：有（板书）
∵ ∴ 或
∴
师：（板书三个公式，并告诉学生公式记号分别为 、 、 ）对二倍角公式大家要注意以下问题．（1）用 和 表示 、 ，用 表示 ，即用单角的三角函数表示复角的三角函数．（2） 有三种形式， 是有条件的．
3．例题分析
【例1】已知 ， ．求 ， ， 的值．
解：因为 ， ．所以
于是


说明：本题也可按下列程序来做，请大家比较方法之优劣．
∵ ，
∴ ，且 ，

【例2】不查表求值：
（1） ；　　（2） ；
（3） ；　　　　　（4） ．
解：（1）

（2）

（3）
（4）



说明：逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式原形以便合理运用公式．

【例3】 求证：
引导学生观察式子两边的结构，提出证题的方向．
生：左边都是单角的三角函数，右边是二倍角．又因左边比右边明显复杂得多，所以应由左边证向右边，注意把单角的三角函数变为二倍角．
师：（板书）
证明：左边


右边
所以原式成立

【例4】化简： ．
师：这道题给我们的感觉是有些无从下手，很难看出有什么公式可以直接使用．两个角 与 似乎还有一线希望，但由于受函数名称限制难以发挥它的作用，大家都来想想看，有什么办法可以打破这一僵局（请同学们讨论）？
生：在同角三角函数的化简中，如果一个式子有弦、有切，我们可以把切化成弦．
师：好的，我们来尝试（板书）
解：





说明：本题在尝试把正切化为弦（正、余弦）后果然获得成功，其实把正切化为弦就是一条重要思想，请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律．另外本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性．希望大家一并记下．

练习（投影）

（1）化简
（2）
（3）若 ，则
答案：（1） ；（2） ；（3）8

4．总结提炼

（1）在两角和的三角函数公式 、 、 中，当 时，就可以得到二倍角的三角函数公式 、 、 ，说明后者是前者的特例．
（2） 、 中角 没有限制条件，而 中，只有 和 时，才成立．
（3）二倍角公式不仅限于 是 的二倍形式，其他如 是 的2倍， 是 的二倍， 是 的二倍等等都是适用的，要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．
有三种形式 ，要依据条件，灵活选用公式．另外，逆用此公式时，更要注意结构形式．

（四）板书设计