4.10 正切函数的图象和性质

第一课时

（一）教学具准备

直尺、投影仪．

（二）教学目标

1．会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图．

2．掌握正切函数的性质及其应用．

（三）教学过程

1．设置情境

正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图．

2．探索研究

师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的．

生：在单位圆上取终边为 （弧度）的角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点．

师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像．

（1）用正切线作正切函数图像

师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数？

生：∵

∴ 是周期函数， 是它的一个周期．

师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像．

作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆．

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③找横坐标（把 轴上 到 这一段分成8等份）．

④找纵坐标，正切线平移．

⑤连线．

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ， 且 （ ）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）．

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

①定义域：

②值域

由正切曲线可以看出，当 小于 （ ）且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于正无穷大）；当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于负无穷大）．这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值．

因此，正切函数的值域是实数集 ．

③周期性

正切函数是周期函数，周期是 ．

④奇偶性

∵ ，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称．

⑤单调性

由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ ， ）， 内都是增函数．

（3）例题分析

【例1】求函数 的定义域．

解：令 ，那么函数 的定义域是

由 ，可得

所以函数 的定义域是

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1） 与 ；

（2） 与 ．

解：（1）∵

又  ∵ ，在 上是增函数

∴

（2）∵

又   ∵ ，函数 ， 是增函数，

∴ 即 ．

说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决．

3．演练反馈（投影）

（1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数且 ）相交的相邻两点间的距离是（      ）

A． B． C． D．与 值有关

（2） 是 的（       ）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充要条件　　　　　D．既不充分也不必要条件

（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合

① ②

参考答案：

（1）C．注： 与 相邻两点之间距离即为周期长

（2）D．注：由 ，但 ，反之 ，但

（3）①

②

4．总结提炼

（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

（2） 性质．

定义域	值域	周期	奇偶性	单调增区间	对称中心	渐近线方程
			奇函数			，

（四）板书设计

课题…… 1．用正切线作正切函数图像 2．正切函数的性质

例1 例2 演练反馈

总结提炼