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高中数学 函数的应用举例 教案

时间:2022-12-03 11:05:31 作者:美篇推荐 字数:6047字

目的: 以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

过程:

一、复习:

1.不等式的一个等价命题

2.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断——结论

二、作差法:(P13—14)

1. 求证: x 2 + 3 > 3 x

证:∵( x 2 + 3) - 3 x = <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />

x 2 + 3 > 3 x

2. 已知 a , b , m 都是正数,并且 a < b ,求证:

证:

a , b , m 都是正数,并且 a < b ,∴ b + m > 0 , b - a > 0

即:

变式:若 a > b ,结果会怎样?若没有“ a < b ”这个条件,应如何判断?

3. 已知 a , b 都是正数,并且 a ¹ b ,求证: a 5 + b 5 > a 2 b 3 + a 3 b 2

证:( a 5 + b 5 ) - ( a 2 b 3 + a 3 b 2 ) = ( a 5 - a 3 b 2 ) + ( b 5 - a 2 b 3 )

= a 3 ( a 2 - b 2 ) - b 3 ( a 2 - b 2 ) = ( a 2 - b 2 ) ( a 3 - b 3 )

= ( a + b )( a - b ) 2 ( a 2 + ab + b 2 )

a , b 都是正数,∴ a + b , a 2 + ab + b 2 > 0

又∵ a ¹ b ,∴( a - b ) 2 > 0   ∴( a + b )( a - b ) 2 ( a 2 + ab + b 2 ) > 0

即: a 5 + b 5 > a 2 b 3 + a 3 b 2

4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行走;有一半路程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m ¹ n ,问:甲乙两人谁先到达指定地点?

解:设从出发地到指定地点的路程为 S

甲乙两人走完全程所需时间分别是 t 1 , t 2

则: 可得:

S , m , n 都是正数,且 m ¹ n ,∴ t 1 - t 2 < 0   即: t 1 < t 2

从而:甲先到到达指定地点。

变式:若 m = n ,结果会怎样?

三、作商法

5. 设 a , b Î R + ,求证:

证:作商:

a = b 时,

a > b > 0时,

b > a > 0时,

(其余部分布置作业)

作商法步骤与作差法同,不过最后是与 1 比较。

四、小结:作差、作商

五、作业: P15   练习

P18   习题6.3  1—4