4.7 二倍角的正弦、余弦、正切（第二课时）

（一）教学具准备
投影仪

（二）教学目标
1．应用倍角公式解决本章开头的一个应用问题．
2．活用倍角公式，推求半角公式．

（三）教学过程
1．设置情境
请同学看教材第3页上的一段文字，它叙述的是一个生活中的实际问题：
“如图1，是一块以点 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上画出一个内接矩形 辟为绿地，使其一边 落在半圆的直径上，另两点 、 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径为 ，如何选择关于点 对称的点 、 的位置，可以使矩形 的面积最大？”根据教材提示应用所学的倍角公式，同学们能尝试解答它吗？
2．探索研究
分析：要使矩形 的面积最大，就必须想办法把面积表示出来，不妨利用我们所学的三角知识，从角的方面进行考虑，设 ，则 ， ，所以 可以用 表示．
解：设 则

∵ ∴
当 时， 即 ，
这时 ，
答：点 、 分别位于点 的左、右方 处时 取得最大值 ．
变式：把一段半径为 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？
生：根据上题的结果可知这时圆内接矩形为内接正方形时面积最大．
以上是倍角公式在实际生活中的运用，请同学们观察以下例题，并分析、思考后能否得出证明．
3．例题分析
【例1】求证：
（1） ；（2） ；
（3） ．
思考，讨论．
我们知道公式 中 是任意的，所以我们可以用 来替换 ，这样就得到


即

上面三式左边都是平方形式，当 的值已知， 角的终边所在象限已知时，就可以将右边开方，从而求得：

以上两式相除又得：

这三个式子称之为半角公式，“±”号的取舍得由 终边所在象限确定．

【例2】求证：
．
分析：从例1引出例2， ，右边是同一个三角函数，并且还要附上正负号，而所要证明的式子右边有两个三角函数，不带正负号．故我们不能利用上法，得另想办法．
师：（边叙述边板书）


∴
上式不含根号也不必考虑“±”号选取，通常用于化简或证明三角恒等式，同样可作半角公式运用．

【例3】已知： ，求 ， ， ．
解：


说明：①例1中（1）、（2）两式使用频率极高，正、逆使用都非常普遍．习惯从左到右，常称“扩角降幂公式”，从右到左常谓“缩角升幂公式”，
②半角公式是二倍角公式的另一种表达方式，倍半关系是相对的．
练习（投影）
1．已知： （ ），
求：（1） ；（2） ．
2．若 ，求： 的值．
3．求： 的值．

参考答案：
解：1．∵
两边平方得 ∴
又∵ ∴
∴ ∴
2．∵ ∴
原式
（3）




另解：设 ……………………①
……………………②
①＋②得 …………………………③
①－②得 ……④
③＋④得 ∴
4．总结提炼
（1）本节课我们由倍角公式出发解决了实际应用问题，得出结论“在一个圆的所有内接矩形中，以内接正方形的面积为最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，从而推导出半角公式，公式“±”号的选取决定于 终边所在的象限，例2的应用也很广泛，大家可根据题目的条件选择使用较为方便的形式．
（2）从半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示．
（3）若给出的 是象限角，则可根据下表决定符号．

若给出的 是区间角，则先求 所在区间再确定符号．
若没有给出确定符号的条件，则应在根号前保留“±”号．

（五）板书设计