复数的有关概念

教学目标

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的 数学 思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学建议

（一）教材分析

1 、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2 、重点、难点分析

（ 1 ）正确复数的实部与虚部

对于复数 ，实部是 ，虚部是 ．注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 , 复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

（ 2 ）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设 ，则 为实数

② 为虚数

③ 且 。

④ 为纯虚数 且

（ 3 ）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

（ 4 ）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数 都可以由一个有序实数对 ( ) 唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对 ( ) 叫做复数的．

②复数 用复平面内的点 Z( ) 表示．复平面内的点 Z 的坐标是 ( ) ，而不是 ( ) ，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1 ，而不是 ．由于 =0 ＋ 1 ? ，所以用复平面内的点 (0 ， 1) 表示 时，这点与原点的距离是 1 ，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点 (0 ， 1) 标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度．

③当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点 ( )( ) 都是表示纯虚数．但当 时， 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面 ( 也叫高斯平面 ) 与一般的坐标平面 ( 也叫笛卡儿平面 ) 的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数 z=a ＋ bi 中的 z ，书写时小写，复平面内点 Z(a ， b) 中的 Z ，书写时大写．要学生注意．

（ 5 ）关于共轭复数的概念

设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）．

教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如： 5 和－ 5 也是互为共轭复数．当 时， 与 互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．

（ 6 ）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 ．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘ < ’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i) 对于任意两个实数 a ， b 来说， a ＜ b ， a=b ， b ＜ a 这三种情形有且仅有一种成立；

(ii) 如果 a ＜ b ， b ＜ c ，那么 a ＜ c ；

(iii) 如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c ；

(iv) 如果 a ＜ b ， c ＞ 0 ，那么 ac ＜ bc ． ( 不必向学生讲解 )

（二）教法建议

1 ．要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与平面解析几何的联系．

2 ．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的 数学 思想．

3 ．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

复数的有关概念

教学目标

1 ．了解复数的实部，虚部；

2 ．掌握复数相等的意义；

3 ．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．

教学重点

复数的概念，复数相等的充要条件．

教学难点

用复平面内的点表示复数Ｍ．

教学用具：直尺

课时安排： 1 课时

教学过程 ：

一、复习提问：

1 ．复数的定义。

2 ．虚数单位。

二、讲授新课

1 ．复数的实部和虚部：

复数 中的 a 与 b 分别叫做复数的实部和虚部。

2 ．复数相等

如果两个复数 与 的 实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

即： 的 充要条件是 且 。

例如： 的 充要条件是 且 。

例 1 ： 已知 其中 ，求 x 与 y .

解：根据复数相等的意义，得方程组：

∴

例 2 ： m 是什么实数时，复数 ,

(1) 是实数， (2) 是虚数，（ 3 ）是纯虚数 .

解：

(1) ∵ 时， z 是实数 ,

∴ , 或 .

(2) ∵ 时， z 是虚数 ,

∴ ，且

(3) ∵ 且 时，

z 是纯虚数 . ∴

3 ．用复平面（高斯平面）内的点表示复数

复平面的定义

建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

复数 可用点 来表示．（如图）其中 x 轴叫实轴， y 轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴 x 上，不在虚轴上．

4 ．复数的几何意义：

复数集 c 和复平面所有的点的集合是一一对应的．

5 ．共轭复数

（ 1 ）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

（ 2 ）复数 z 的共轭复数用 表示． 若 ， 则： ；

（ 3 ）实数 a 的 共轭复数仍是 a 本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．

（ 4 ）复平面内表示两个共轭复数的点 z 与 关于实轴对称．

三、练习 1,2,3,4.

四、小结：

1 ．在理解复数的有关概念时应注意：

（ 1 ）明确什么是复数的实部与虚部 ；

（ 2 ） 弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求 ；

（ 3 ） 弄清复平面与复数的几何意义 ；

（ 4 ）两个复数不全是实数就不能比较大小。

2 ．复数集与复平面上的点注意事项：

（ 1 ） 复数 中的 z ，书写时小写，复平面内点 Z( a ， b ) 中的 Z ，书写时大写。

（ 2 ）复平面内的点 Z 的坐标是 ( a ， b ) ，而不是 ( a ， bi ) ，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1 ，而不是 i 。

（ 3 ）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

（ 4 ）复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业 1,2,3,4,

六、 板书设计 ：

§ 8,2 复数的有关概念 1 定义：　　例 1 3 定义 : 4 几何意义 : …… …… …… …… 2 定义：　　例 2                 5 共轭复数 : …… …… …… ……