由组合树图可得，从 a,b,c,d 中取出 3 个元素的组合有 4 个，它们是 (abc),(abd),(acd),(bcd).

从以上两组树图清楚的告诉我们，排列树图是对称的，组合图式不是对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于 a,b,c,d 四个字母哪一个都有在第一位的机会，哪一个都有在第二位的机会，哪一个都有在第三位的机会，而组合只考虑字母不考虑顺序，为实现无顺序的要求，我们可以限定 a,b,c,d 的顺序是从前至后，固定了死顺序等于无顺序，这样组合就有了自己的树图．

学会画组合树图，不仅有利于理解排列与组合的概念，还有助于推导组合数的计算公式．

3 ．排列组合的应用问题，教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题，最后在设及排列与组合的综合问题．

对于每一道题目，教师必须先让学生独立思考，在进行全班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判断正误，在给予点播．对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案，总结解题规律．对于学生解题中的常见错误，教师一定要讲明道理，认真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提高．

4 ．两个性质定理教学时，对定理 1 ，可以用下例来说明：从 4 个不同的元素 a ， b ， c ， d 里每次取出 3 个元素的组合及每次取出 1 个元素的组合分别是

这就说明从 4 个不同的元素里每次取出 3 个元素的组合与从 4 个元素里每次取出 1 个元素的组合是?一对应的．

对定理 2 ，可启发学生从下面问题的讨论得出．从 n 个不同元素 ， ，…， 里每次取出 m 个不同的元素（ ），问：（ 1 ）可以组成多少个组合；（ 2 ）在这些组合里，有多少个是不含有 的；　　（ 3 ）在这些组合里，有多少个是含有 的；（ 4 ）从上面的结果，可以得出一个怎样的公式．在此基础上引出定理 2 ．

对于 ，和 一样，是一种规定．而学生常常误以为是推算出来的，因此，教学时要讲清楚．

教学设计示例

教学目标

（ 1 ）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；

（ 2 ）使学生掌握组合数的计算公式；

（ 3 ）通过 学习 组合知识，让学生掌握类比的 学习 方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；

教学重点 难点

重点是组合的定义、组合数及组合数的公式；

难点是解组合的应用题．

教学过程 设计

（－）导入新课

（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕．

［字幕］一条铁路线上有 6 个火车站，（ 1 ）需准备多少种不同的普通客车票？（ 2 ）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是组合问题？

（学生活动）讨论并回答．

答案提示：（ 1 ）排列；（ 2 ）组合．

［评述］问题（ 1 ）是从 6 个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（ 2 ）是从 6 个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题．这节课着重研究组合问题．

设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题．

（二）新课讲授

［提出问题 创设情境］

（教师活动）指导学生带着问题阅读课文．

［字幕］ 1 ．排列的定义是什么？

2 ．举例说明一个组合是什么？

3 ．一个组合与一个排列有何区别？

（学生活动）阅读回答．

（教师活动）对照课文，逐一评析．

设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境．

【归纳概括 建立新知】

（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识．

［字幕］模型：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合．如前面思考题： 6 个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票，是从 6 个元素中取出 2 个元素的一个组合．

组合数：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，称之，用符号 表示，如从 6 个元素中取出 2 个元素的组合数为 .

［评述］区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．

（学生活动）倾听、思索、记录．

（教师活动）提出思考问题．

［投影］ 与 的关系如何？

（师生活动）共同探讨．求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可分为以下两步：

第 1 步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为 ；

第 2 步，求每一个组合中 个元素的全排列数为 ．

根据分步计数原理，得到

［字幕］公式 1 ：

公式 2 ：

（学生活动）验算 ，即一条铁路上 6 个火车站有 15 种不同的票价的普通客车票．

设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去．

【例题示范 探求方法】

（教师活动）打出字幕，给出示范，指导训练．

［字幕］例 1 列举从 4 个元素 中任取 2 个元素的所有组合．

例 2 计算：（ 1 ） ；（ 2 ） ．

（学生活动）板演、示范 .

（教师活动）讲评并指出用两种方法计算例 2 的第 2 小题．

［字幕］例 3 已知 ，求 的所有值 .

（学生活动）思考分析．

解 首先，根据组合的定义，有

①

其次，由原不等式转化为

即

解得 ②

综合①、②，得 ，即

［点评］这是组合数公式的应用，关键是公式的选择．

设计意图：例题教学循序渐进，让学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生的综合分析能力．

【反馈练习 学会应用】

（教师活动）给出练习，学生解答，教师点评．

［课堂练习］课本 P99 练习第 2 ， 5 ， 6 题．

［补充练习］

［字幕］ 1 ．计算：

2 ．已知 ，求 .

（学生活动）板演、解答．

设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用．

【点评矫正 交流提高】

（教师活动）依照学生的板演，给予指正并总结．

补充练习答案：

1 ．解：原式：

2 ．解：由题设得

整理化简得 ，

解之，得 或 （因 ，舍去），

所以 ，所求

［字幕］小结：

1 ．前一个公式主要用于计算具体的组合数，而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证．

2 ．在解含组合数的方程或不等式时，一定要注意组合数的上、下标的限制条件．

（学生活动）交流讨论，总结记录．

设计意图：由“实践??认识??一实践”的认识论，教学时抓住“ 学习 ?一练习??反馈???小结”这些环节，使 教学目标 得以强化和落实．

（三）小结

（师生活动）共同小结．

本节主要内容有

1 ．组合概念．

2 ．组合数计算的两个公式．

（四）布置作业

1 ．课本作业：习题 10 3 第 1 （ 1 ）、（ 4 ）， 3 题．

2 ．思考题：某 学习 小组有 8 个同学，从男生中选 2 人，女生中选 1 人参加 数学 、 物理 、 化学 三种学科竞赛，要求每科均有 1 人参加，共有 180 种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？

3 ．研究性题：

在 的 边上除顶点 外有 5 个点，在 边上有 4 个点，由这些点（包括 ）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？

（五）课后点评

在 学习 了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

作业参考答案

2 ．解；设有男同学 人，则有女同学 人，依题意有 ，由此解得 或 或 2 ．即男同学有 5 人或 6 人，女同学相应为 3 人或 2 人．

3 ．能组成 （注意不能用 点为顶点）个四边形， 个三角形．

探究活动

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？

解 设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解．

解法一 可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：

甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有 3 种分配方法．

甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有 3 种分配方法．

甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有 3 种分配方法．

由加法原理得，贺卡分配方法有 3+3+3=9 种．

解法二 可从利用排列数和组合数公式角度来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径．

正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取 1 张，有 种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的 3 张贺卡中选取 1 张，也有 种，最后剩下 2 人可选取的贺卡即是这 2 人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡 1 种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法有 （种）．

逆向思考，即从 4 人取 4 张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有 1 人取自己制作的贺卡，其中有 2 人取自己制作的贺卡，其中有 3 人取自己制作的贺卡（此时即为 4 人均拿自己制作的贺卡）．其取法分别为 1 ．故符合题设要求的取法共有 （种）．

说明（ 1 ）对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较复杂，且容易重复遗漏计算的排列组合问题，常可采用直接分类后用加法原理进行计算，如本例采用解法一的做法．

（ 2 ）设集合 ，如果 S 中元素的一个排列 满足 ，则称该排列为 S 的一个错位排列．本例就属错位排列问题．如将 S 的所有错位排列数记为 ，则 有如下三个计算公式（李宇襄编著《组合 数学 》，北京师范大学出版社出版）：

①

②

③