复数的向量表示

教学目标

（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；

（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；

（4）通过 学习 复数的向量表示，培养学生的数形结合的 数学 思想；

（5）通过本节内容的 学习 ，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法．

教学建议

一、知识结构

本节内容首先从 物理 中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式．

二、重点、难点分析

本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．

三、教学建议

1．在 学习 新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中 物理 课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视．

2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系

如图所示，建立复平面以后，复数 与复平面内的点 形成?一对应关系，而点 又与复平面的向量 构成?一对应关系．因此，复数集 与复平面的以 为起点，以 为终点的向量集 形成?一对应关系．因此，我们常把复数 说成点 Z 或说成向量 ．点 、向量 是复数 的另外两种表示形式，它们都是复数 的几何表示．
相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量 相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成?一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成?一对应关系．

2 ．

这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．

3 ．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是 ，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．

4 ．讲解教材第 182 页上例 2 的第（ 1 ）小题建议．在讲解教材第 182 页上例 2 的第（ 1 ）小题时．如果结合提问 的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒 2 的第（ 2 ）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．

5 ．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。向量 的模，又叫做向量 的绝对值，也就是有向线段 OZ 的长度 ．它也叫做复数 的模或绝对值．它的计算公式是 ．

教学设计示例

复数的向量表示

教学目的

1 掌握复数的向量表示 ，复数模的概念及求法，复数模的几何意义．
2 通过数形结合研究复数．
3 培养学生辩证唯物主义思想．

重点难点

复数向量的表示及复数模的概念．

教学学具

投影仪

教学过程

1 复习提问：向量的概念；模；复平面．
2 新课：

一、 复数的向量表示：

在复平面内以原点为起点，点 Z （ a ， b ）为终点的向量 OZ ，由点 Z （ a ， b ）唯一确定．

因此复平面内的点集与复数集 C 之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应．

常把复数 z=a+bi说成点Z（a，b）或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数．

二、 复数的模

向量 OZ的模（即有向线段OZ的长度）叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作|Z|或|a+bi|

|Z|=|a+bi|=a+b

例1 求复数 z ₁ =3+4i及z ₂ =-1+2i的模，并比较它们的大小．

解：∵ |Z ₁ | ² =3 ² +4 ² =25     |Z ₂ | ² =（-1） ² +2 ² =5

∴ |Z ₁ |＞|Z ₂ |

练习： 1已知z ₁ =1+3i  z ₂ =-2i  Z ₃ =4   Z ₄ =-1+2i

⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量．

⑵计算它们的模．

三、 复数模的几何意义

复数 Z=a+bi ，当 b=0 时 z ∈ R |Z|=|a| 即 a 在实数意义上的绝对值复数模可看作点 Z （ a ， b ）到原点的距离．

例2 设 Z ∈ C 满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？

⑴ |Z|=4 ⑵ 2 ≤ |Z| ＜ 4

解：（略）

练习：⑴ 模等于 4 的虚数在复平面内的点集 ．

⑵ 比较复数 z ₁ = － 5+12i    z ₂ = ― 6 ― 6i 的模的大小．

⑶已知： |Z|=|x+yi|=1 求表示复数 x+yi 的点的轨迹．

教学后记：

板书设计 ：

一、复数的向量表示： 三、复数模的几何意义

二、复数的模 例2

例 1

探究活动

已知 要使 ，还要增加什么条件？

解：要使 ，即 由此可知，点 到两个定点 和 的距离之和为 6 ，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆 ．

因此，所要增加的条件是：点 应满足条件 ．

说明　此题是属于缺少条件的探索性问题，解决这类问题的一般做法是从结论出发，并采用逆推的方法得出终结的结论，便理所求的条件．