----数学习题课“一题多问”“一题多变”教学案例与评析
数学习题课对所学过的知识能够起到检查、巩固、提高、拓展的功效，在进行概念教学的过程中，应当适当安排一些习题课。然而，习题课的选题，容量怎样安排才合理，效益如何提高，如何培养学生的良好思维品质？我一直在思考、在尝试。我认为习题课绝不是简单的习题介绍，也绝不是教辅资料的处理之需，我觉得习题课题目的选择和教学安排应该遵循两个原则：一是整理知识，整顿习惯，整合思维的原则；一是引导思考，自主探究，激活思维的原则。高二这段时间进行椭圆单元的教学，在习题课上，我备课时，首先确定好这一节课的目标以及每个选题的目标，然后围绕这一目标进行广泛阅读、筛选、重组，尽量编成“一题多问”、“一题多变”的题目，这样，教学容量、效益有了很大提高。以下是本人高二椭圆单元教学习题课设置的“一题多问”、“一题多变”教学案例。
【教学案例一】
○教学背景：椭圆标准方程及简单的几何性质上完后，为了使学生掌握标准方程及相关的量，我安排了习题课，编成“一题多问”的题。
教学目标：
1）加强学生对椭圆方程的认识，巩固有关概念、性质。
2）能够根据椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程。
问题设置：例1：已知椭圆方程 ，回答下列问题：
（1）出该椭圆的长轴、短轴长，焦距，离心率
（2）写出该椭圆的顶点、焦点坐标，准线方程
（3）作出该椭圆的图形。
教学要求：
1）三位同学板演。
2）把1、2中涉及到的量在图中标出。
3）体会椭圆中的量与焦点的位置关系。
教学意图：1）检查、巩固，2）数形结合，3）引导学生比较、思考
○教学背景：根据性质求椭圆方程，能够强化对椭圆的几何性质认识，这是教学的重点。
教学目标：巩固椭圆的性质，熟练掌握求椭圆方程的方法和注意四项。
问题设置：例2.根据条件,写出对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：
(1)过点P(3,0),且长轴长是短轴长的三倍的椭圆。
(2)以直线3x+4y－12=0和两轴的交点分别作为顶点和焦点的椭圆。
(3)一个焦点把长轴分成长度为7和1两段的椭圆。
(4)已知长轴长与短轴长之比为2：1,一条准线方程为x+4=0的椭圆。
(5)长轴在x轴上,离心率为 ,一条准线是x=3的椭圆。
(6)焦点在x轴上,其长轴端点与相近的焦点相距为1,与相近的一条准线距离为 。
教学要求：1）前三题学生板演。
2）要求学生进行解题反思，整合求椭圆的一般思路及注意事项。
3）后三题课外作业。
教学意图：1、引导思考，自主探究，激活思维。
2、整理知识，整顿习惯，整合思维。
【评析】
新课程改革要求我们重新树立教材观，教师对教材、教辅进行再加工，再创造。习题课如果只是把课本、资料上的题目照搬照抄，使用起来总感到凌乱、目标不集中，讲解单调，题目功效较弱等缺憾。这样，备课时考虑好想要达到的目标，广泛阅读，仔细筛选，大胆重组编成需要的题目，使用起来很方便，讲解起来易透彻，教学意图特明显。另外，新课改积极倡导“探究式课堂教学”，就是以探究为主的教学。具体说它是指教学过程是在教师设置的问题引领下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式。一题多问，根据老师的预设，层层深入探究，发展了学生的思维，培养了自学能力；一题多变，让学生在做题中自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，促使他们自己去获取知识、发展能力；一题多人板演，有比较，互展示，教师为学生的学习设置探究的情境，建立探究的氛围，让学生在求解过程中求创新、求速度、求最佳。
【教学案例二】
○教学背景：对于椭圆方程，学生对焦点在X轴上的标准方程比较熟悉，解题时往往疏忽焦点在Y轴上的情形。于是我设置了这样一个题目，以期引起学生重视。
教学目标：加强对椭圆方程的认识，在解题中注意焦点的位置。
问题设置：例：设方程 ，回答下列问题：
（1）方程表示焦点在X轴上的椭圆，求实数m的取值范围。
（2）方程的准线与X轴平行，求实数m的取值范围。
（3）方程的一个焦点坐标为（0，1），求m的值。
（4）方程的离心率e= ，求m的值。
教学要求：四个组每组一题，选代表板演，并说出老师选这题的意图。
教学意图：引导思考，合作交流，比较归纳。
【评析】
两相比照辨异同，举一反三旁类通。比较是确定客观事物彼此之间的不同点和相同点的一种思维方法。通过比较，能使我们认识事物本身所固有的特点（即在比较中求异），也能够认识同类事物的共点特点（即在比较中求同）。通过这一题多问，反复强调求解时要考虑焦点位置，意识得到强化。同时告诉学生把椭圆方程换一下，课后在去做，问题迎刃而解。通过对题目的背景的改变，让学生不断思考，互相启发，总结归纳出解题规律。这类题具有很强的严密性和发散性，通过训练把学生的思维引到一个广阔的空间，培养了学生思维的广度和深度。这样，通过“一题多问”和“一题多变”，拓展了思维空间，培养学生的创新思维。对高中学生来说，有利于培养他们学习数学的浓厚兴趣和创新精神。
【教学案例三】 ○教学背景：椭圆单元里有一类围绕焦点三角形而设置的题目，有规律可循。
问题设置：例：设P是椭圆 上一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，
（1）若 ，求P点坐标，三角形F1AF2的面积。
（2）若 ，求P点坐标，三角形F1AF2的面积。
（3） 为钝角，求P点横坐标x0的取值范围。
教学要求：讲解问1，学生自做问2、3
【评析】
类比、联想是重要的数学思想，求同、求异是数学思考的常见方法。“一题多问”和“一题多变”巧妙地把同类的放在一起让学生去感受，去体会，去总结。原本被动的行为在潜移默化中变为自觉行为。教学中不仅要求学生的思维活跃，教师的思维更应开放，教师只要细心大胆挖掘，从问题个性中探求共性，寻求变异，多角度、多层次去构思、延伸、开拓，这样引导思考，自主探究，有利于激活学生思维。
【教学案例四】
○教学背景：最值题对学生来说是个难点，椭圆与双曲线有许多相近之处，讲好椭圆有利于全局。仔细研究椭圆单元的有关最值题，万变不离其宗，有通法。
教学目标：掌握一些椭圆有关的最值问题，探求解决这类问题的一般思路。
问题设置：例：已知x、y满足 ，探究下列问题：
（1）求U=x2+y2-2y的取值范围。
（2）求U=2x+3y+4的取值范围。
（3）求点P（x,y）到A（1，1）距离最小值及对应的P点坐标。
（4）求点P（x,y）到直线L：x+2y=4距离的最值。
（5）求U= 的取值范围。
（6）设该椭圆与坐标轴正半轴交于A、B两点，在劣弧上取一点C使四边形OACB面积最大，求面积最大值。
教学要求：教师启发，学生口答，师生合作完成。回头比较，总结出规律：
1）建立目标函数。对于目标函数采用的手段有：消元：法一，代入消元转化成二次函数；如1.3.
法二，参数方程转化成三角函数；如1.2.3.4
联想：数学表达式的几何意义，如斜率、距离等。如5
2）找临界状态。如6
【评析】
在教学中，教师的“导”：需精心创设问题情境，组织学生进行生动有趣的“活动”，留给学生想象和思维的“空间”，充分揭示获取知识的思维过程，使学生在过程中“学会”并“会学”，优化学生的思维品质，从而得到主体的智力发展。现代教育论指出，教育是教师的导引与学生的知行的统一，教育过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。交往的本质属性是主体性，是动态的表现出来的主体之间的相互作用、相互交流、相互沟通、相互理解，在这个过程中，要消除教师中心和管理中心的倾向，实现师生互动、相互沟通、相互影响、相互补充、从而达到共识、共享、共进，这是教学相长的真谛。习题课题目的选择重组，给师生共同探究提供了一个平台，问题的设置，有序，递进，通过探究能够发现规律，便于总结归纳，很有一点“润物无声”的教育功效。
实践让我体会到“一题多问”和“一题多变”对数学问题进行再加工，再创新，能够引导学生思考，便于学生自主探究，有利于激活学生思维。同时也能够方便师生共同整理知识，整顿解题习惯，整合思维。“一题多问”和“一题多变”设置问题使教师的预设促学生的生成，使习题课更精彩。