数学教案－一元二次方程的根的判别式（一）

1. 知识结构：

2. 重点、难点分析

（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步 学习 函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.

（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为 .因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3. 教法建议：

（1）引入要自然、合理

新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要 学习 的知识并不突然，也显露了本节课的重点.

（2）利用多媒体进行教学

本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高 学习 效率.

（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.

一、 教学目标

1. 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

2. 通过根的判别式的 学习 ,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

二、重点·难点及解决办法

1． 教学重点 ：会用判别式判定根的情况。

2． 教学难点 ：一元二次方程根的三种情况的推导.

3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定 a 、b 、c 。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

三、教学步骤

（一） 教学过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：① ；② ；③ 。

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

2．任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。

（1）当 时，方程有两个不相等的实数根。

即

（2）当 时，方程有两个相等的实数根，即 。

（3）当 时，方程没有实数根。

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答： 。

3．①定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。

②一元二次方程 。

当 时，有两个不相等的实数根；

当 时，有两个相等的实数根；

当 时，没有实数根。

反之亦然。

注意以下几个问题：

（1） 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

（2）当 ，说“方程 没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

4．例题讲解

例1  不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1） ；（2） ；（3） 。

解：（1）

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程可变形为

。

，

∴原方程有两个相等的实数根。
（3）原方程可变形为

。

∴原方程没有实数根。

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定 a 、b 、c 的（2）计算 的值；（3）判别根的情况。

强调两点：（1）只要能判别 值的符号就行，具体数值不必计算出。（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。

练习：不解方程，判别下列方程的情况：

（1） ；（2） ；

（3） ；（4） ；

（5） ；（6）

学生板演、笔答、评价。

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设 ，判别方程 根的情况，由此判别原方程根的情况。

例2  不解方程，判别方程 的根的情况。

解： 。

又  ∵  不论 k 取何实数， ，

∴  原方程有两个实数根。

教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定 的取值。

练习：不解方程，判别下列方程根的情况。

（1） ；

（2） ；

（3） 。

学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。

（3）解：

∵  不论 m 取何值， ，即 。

∴  方程无实数解。

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。

（二）总结、扩展

1．判别式的意义及一元二次方程根的情况。

（1）定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。

（2）一元二次方程 。

当 时，有两个不相等的实数根；

当 时，有两个相等的实数根；

当 时，没有实数根。反之亦然。

2．通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。

四、布置作业

教材P27A1～4。

5．不解方程，判断下 x 的方程的根的情况

（1）

（2）

五、 板书设计