知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向

〖大纲要求〗

1．  理解二次函数的概念；

2．  会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

3．  会平移二次函数y＝ax ² (a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m) ² ＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4．  会用待定系数法求二次函数的解析式；

5．  利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容

（1）二次函数及其图象

如果y=ax ² +bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向

抛物线y=ax ² +bx+c(a≠0)的顶点是 <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> <?XML:NAMESPACE PREFIX = O /> ，对称轴是 ，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是x=-h.

〖考查重点与常见题型〗

1．  考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x ² ＋m ² －m－2额图像经过原点，

则m的值是

2．  综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数

y＝kx ² ＋bx－1的图像大致是（     ）

y               y             y               y

1                              1

0    x          o-1  x        0    x          0 -1  x

A               B             C               D

3．  考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。

4．  考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线y＝ax ² ＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

习题1:

一、填空题： （每小题3分，共30分）

１、已知Ａ（３，６）在第一象限，则点Ｂ（３，－６）在第 象限

２、对于ｙ＝－，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而

３、二次函数ｙ＝ｘ ^２ ＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是

４、抛物线ｙ＝（ｘ－１） ^２ －７的对称轴是直线ｘ＝

５、直线ｙ＝－５ｘ－８在ｙ轴上的截距是

６、函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是

７、若函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘ ^{ｍ ２ ＋３ｍ＋１} 是反比例函数，则m的值为

８、在公式＝ｂ中，如果ｂ是已知数，则ａ＝

９、已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是

１０、       某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨），与该乡人口数ｘ的函数关系式是

二、选择题： （每题3分，共30分）

１１、函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围　　（　　）

(Ａ)ｘ＞５　　　　(Ｂ)ｘ＜５　　　　(Ｃ)ｘ≤５　　　(Ｄ)ｘ≥５

１２、抛物线ｙ＝（ｘ＋３） ^２ －２的顶点在　　　　　（　　）

(Ａ)第一象限　　(Ｂ) 第二象限　　　(Ｃ) 第三象限　　(Ｄ) 第四象限

１３、抛物线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）与坐标轴交点的个数为　　（　　）

(Ａ)０　　　(Ｂ)１　　　　(Ｃ)２　　　　(Ｄ)３

１４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（　　　　）

(Ａ)　　　　 (Ｂ)　　　　　(Ｃ)　　　　　　(Ｄ)

15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（　　　）

（A）（－3,5）　　　（B）（3,5）　　　（C）（－3，－5）　　　（D）（3，－5）

16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝的是（　　　）

（A）       ｙ＝ｘ ² （B）ｙ＝ｘ ² ＋2ｘ（C）ｙ＝ｘ ² ＋ｘ＋2（D）ｙ＝ｘ ² －ｘ－2

17．函数ｙ＝中，ｘ的取值范围是（　　　）

（A）ｘ≠0　　（B）ｘ＞　　（C）ｘ≠　　（D）ｘ＜

18．已知A（0,0），B（3,2）两点，则经过A、B两点的直线是（　　　）

（A）ｙ＝ｘ　　（B）ｙ＝ｘ　　（C）ｙ＝3ｘ　　（D）ｙ＝ｘ＋1

19．不论ｍ为何实数，直线ｙ＝ｘ＋2ｍ与ｙ＝－ｘ＋4　的交点不可能在（　　　）

<?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /> （A）第一象限　　（B）第二象限　　（C）第三象限　　（D）第四象限

20．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　　）

（A）2米　　　（B）3米　　　（C）4米　　　（D）5米

三．解答下列各题 （21题6分，22----25每题4分，26-----28每题6分，共40分）

21．已知：直线ｙ＝ｘ＋ｋ过点A（4，－3）。（1）求ｋ的值；（2）判断点B（－2，－6）是否在这条直线上；（3）指出这条直线不过哪个象限。

22．已知抛物线经过A（0，3），B（4,6）两点，对称轴为ｘ＝，

（1）       求这条抛物线的解析式；

（2）       试证明这条抛物线与X轴的两个交点中，必有一点C，使得对于ｘ轴上任意一点D都有AC＋BC≤AD＋BD。

23．已知：金属棒的长1是温度ｔ的一次函数，现有一根金属棒，在O℃时长度为200ｃｍ，温度提高1℃，它就伸长0.002ｃｍ。

（1）       求这根金属棒长度ｌ与温度ｔ的函数关系式；

（2）       当温度为100℃时，求这根金属棒的长度；

（3）       当这根金属棒加热后长度伸长到201.6ｃｍ时，求这时金属棒的温度。

24．已知ｘ ₁ ，ｘ ₂ ，是关于ｘ的方程ｘ ² －3ｘ＋ｍ＝0的两个不同的实数根，设ｓ＝ｘ ₁ ² ＋ｘ ₂ ²

（1）       求S关于ｍ的解析式；并求ｍ的取值范围；

（2）       当函数值ｓ＝7时，求ｘ ₁ ³ ＋8ｘ ₂ 的值；

25．已知抛物线ｙ＝ｘ ² －（ａ＋2）ｘ＋9顶点在坐标轴上，求ａ的值。

２６、如图，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠，截取ＡＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ｘ，已知ＡＢ＝６，ＣＤ＝３，ＡＤ＝４，求：

（１）   四边形ＣＧＥＦ的面积Ｓ关于ｘ的函数表达式和Ｘ的取值范围；

（２）   当ｘ为何值时，Ｓ的数值是ｘ的４倍。

２７、国家对某种产品的税收标准原定每销售１００元需缴税８元（即税率为８％），台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品ｍ吨，每吨２０００元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每１００元缴税（８－ｘ）元（即税率为（８－ｘ）％），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加２ｘ％。

（１）   写出调整后税款ｙ（元）与ｘ的函数关系式，指出ｘ的取值范围；

（２）   要使调整后税款等于原计划税款（销售ｍ吨，税率为８％）的７８％，求ｘ的值．

２８、已知抛物线ｙ＝ｘ ^２ ＋（２－ｍ）ｘ－２ｍ（ｍ≠２）与ｙ轴的交点为Ａ，与ｘ轴的交点为Ｂ，Ｃ（Ｂ点在Ｃ点左边）

（１）   写出Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标；

（２）   设ｍ＝ａ ^２ －２ａ＋４试问是否存在实数ａ，使△ＡＢＣ为Ｒｔ△？若存在，求出ａ的值，若不存在，请说明理由；

（３）   设ｍ＝ａ ^２ －２ａ＋４，当∠ＢＡＣ最大时，求实数ａ的值。

习题2:

一．填空（20分）

1．二次函数=2（x - ） ² +1图象的对称轴是 。

2．函数y= 的自变量的取值范围是 。

3．若一次函数y=（m-3）x+m+1的图象过一、二、四象限，则的取值范围是 。

4．已知关于的二次函数图象顶点（1，-1），且图象过点（0，-3），则这个二次函数解析式为 。

5．若y与x ² 成反比例，位于第四象限的一点P（a，b）在这个函数图象上，且a,b是方程x ² -x -12=0的两根，则这个函数的关系式 。

6．已知点P（1，a）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，其中a=m ² +2m+3（m为实数），则这个函数图象在第 象限。

7． x,y满足等式x= ，把y写成x的函数 ，其中自变量x的取值范围是 。

8．二次函数y=ax ² +bx+c+（a 0）的图象如图，则点P（2a-3，b+2）

在坐标系中位于第 象限

9．二次函数y=（x-1） ² +（x-3） ² ，当x= 时，达到最小值 。

10．抛物线y=x ² -（2m-1）x- 6m与x轴交于（x ₁ ，0）和（x ₂ ，0）两点，已知x ₁ x ₂ =x ₁ +x ₂ +49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位。

二．选择题（30分）

11．抛物线y=x ² +6x+8与y轴交点坐标（    ）

（A）（0，8）  （B）（0，-8）  （C）（0，6）   （D）（-2，0）（-4，0）

12．抛物线y= - （x+1） ² +3的顶点坐标（    ）

（A）（1，3）   （B）（1，-3）   （C）（-1，-3）   （D）（-1，3）

13．如图，如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限，那么函数y=kx ² +bx-1的图象大致是（    ）

14．函数y= 的自变量x的取值范围是（    ）

（A）x 2    （B）x<2    （C）x> - 2且x 1     （D）x 2且x –1

15．把抛物线y=3x ² 先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（    ）

（A）=3（x+3） ² -2  （B）=3（x+2） ² +2   （C）=3（x-3） ² -2   （D）=3（x-3） ² +2

16．已知抛物线=x ² +2mx+m -7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程 x ² +（m+1）x+m ² +5=0的根的情况是（    ）

（A）有两个正根  （B）有两个负数根   （C）有一正根和一个负根 （D）无实根

17．函数y= - x的图象与图象y=x+1的交点在（    ）

（A） 第一象限  （B）第二象限  （C）第三象限  （D）第四象限

18．如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax ² +bx+c的图象，如图，

则代数式b+c-a与0的关系（    ）

（A）b+c-a=0  （B）b+c-a>0  （C）b+c-a<0  （D）不能确定

19．已知：二直线y= - x +6和y=x - 2，它们与y轴所围成的三角形的面积为（    ）

（A）6   （B）10   （C）20   （D）12

20．某学生从家里去学校，开始时匀速跑步前进，跑累了后，再匀速步行余下的路程。下图所示图中，横轴表示该生从家里出发的时间t，纵轴表示离学校的路程s，则路程s与时间t之间的函数关系的图象大致是（    ）

三．解答题（21~23每题5分，24~28每题7分，共50分）

21．已知抛物线y=ax ² +bx+c（a 0）与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y轴交点的纵坐标是- ；

（1）确定抛物线的解析式；

（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。

22、如图抛物线与直线 都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=—1，与x轴交于点C,且∠ABC=90°求：

(1)直线AB的解析式；

(2)抛物线的解析式。

23、某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元，  商场平均每天可多售出2件：

(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元，

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

24、已知：二次函数 和 的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。

25、如图，已知⊿ABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为{—1，0)，求

(1)B，C，D三点的坐标；

(2)抛物线 经过B，C，D三点，求它的解析式；

(3)过点D作DE∥AB交过B，C，D三点的抛物线于E，求DE的长。

26 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超100度

时，按每度0．57元计费：每月用电超过100度时．其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0．50元计费。

(1)设月用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y关于x的函数

关系式；

(2)小王家第一季度交纳电费情况如下：

月    份	一月份	二月份	三月份	合  计
交费金额	76元	63元	45元6角	184元6角

问小王家第一季度共用电多少度?

27、巳知：抛物线

(1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)；

(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；

(3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点：

①当⊿AＢＰ是直角三角形时，求b的值；

②当⊿ABＰ是锐角三角形，钝角三角形时，分别写出b的取值范围(第2题不要求写出过程)

28、已知二次函数的图象 与x轴的交点为A，B(点Ｂ在点A的右边)，与y轴的交点为C；

(1)若⊿ABC为Rt⊿，求m的值；

(1)在⊿ABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值；

(3)设⊿ABC的面积为S，求当m为何值时，s有最小值．并求这个最小值。