二次函数的教学设计

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1.         1.     理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax ² 的图象，知道抛物线的有关概念；

2.       2.       通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.       3.       通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax ² 的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一.   一.   创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM ² ）与R的关系式

答：S=πR ² .  ①

2.写出用总长为 <?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" /> 60M 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M ² ）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）= 30L -L ² ②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二.   二.   归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax ² +bx+c(a，b，c是常数，a≠0)   ，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2) 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如： <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> <?XML:NAMESPACE PREFIX = O /> ； ； ；  的形式。）

（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三.   三.   尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax ² 入手展开研究

1.       1.       尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x ² 的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2.       2.       模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x ² 的图象。

解：一、列表：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
Y=x 2	9	4	1	0	1	4	9

二、描点、连线：　按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

<?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" />

对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

练习：画出函数 ; 的图象（请两个同学板演）

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
Y=0.5X 2	4.5	2	0.5	0	0.5	02	4.5
Y= -X 2	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数 y=ax ² 的图象是一条抛物线。

（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）

三.   三.   运用新知、变式探究

画出函数  y=5x ² 图象

学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

x	-0.5	-0.4	-0.3	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
Y=5x 2	1.25	0.8	0.45	0.2	0.05	0	0.05	0.2	0.45	0.8	1.25

教师出示已画好的图象让学生观察

注意：1. 画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

2. 自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

3. 对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

四.   四.   归纳小结、延续探究

教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax ² 的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

一般的，二次函数y=ax ² 的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。

五.   五.   回顾反思、总结收获

在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。

（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）