已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．

答案

证明：过E点作EG⊥AF，垂足为G，

∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，

又∠BAE=∠EAF，即AE为角平分线，EB⊥AB，EG⊥AG，

∴BE=EG，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，

∵

BE=EG

AE=AE  ，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），

∴AG=AB，

同理可知CF=GF，

∴AF=BC+FC．

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

特殊的长方形。

四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。

有一组邻边相等的矩形是正方形。

有一个角为直角的菱形是正方形。

对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。

对角线相等的菱形是正方形。

正方形的性质：

1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

2、内角：四个角都是90°；

3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；

5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；

6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；

正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。

8、正方形是特殊的长方形。

正方形的判定：

判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。

1：对角线相等的菱形是正方形。

2：有一个角为直角的菱形是正方形。

3：对角线互相垂直的矩形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。