当前位置:首页 > 教学教案

'高中数学-高三数学教案组合

时间:2023-01-18 11:05:35 作者:豆丁文库尔 字数:27494字

组合


教学目标
(1)使学生正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;
(2)使学生掌握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系;
(3)通过 学习 组合知识,让学生掌握类比的 学习 方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;
(4)通过对排列、组合问题求解与剖析,培养学生 学习 兴趣和思维深刻性,学生具有严谨的 学习 态度。


教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式,组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用,并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。

组合与组合数,也有上面类似的关系。从 n 个不同元素中任取 m m n )个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中任取 m 个元素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看,从 n 个元素的有限集中取出 m 个组成的一个集合(无序集),相当于一个组合,而这种集合的个数,就是相应的组合数。

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题,其次要搞清需要分类,还是需要分步.切记:排组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分类为加、分步为乘).

三、教法设计

1 .对于基础较好的学生,建议把排列与组合的概念进行对比的进行 学习 ,这样有利于搞请这两组概念的区别与联系.

2 .学生与老师可以合编一些排列组合问题,如“ 45 人中选出 5 人当班干部有多少种选法?”与“ 45 人中选出 5 人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法?”这是两个相近问题,同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题,教师要引导学生辨认哪个是排列问题,哪个是组合问题.这样既调动了学生 学习 的积极性,又在编题辨题中澄清了概念.

为了理解排列与组合的概念,建议大家学会画排列与组合的树图.如,从 a,b,c,d 4 个元素中取出 3 个元素的排列树图与组合树图分别为:

排列树图

由排列树图得到,从 a,b,c,d 取出 3 个元素的所有排列有 24 个,它们分别是: abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc. …… dca,dcb.

组合树图

由组合树图可得,从 a,b,c,d 中取出 3 个元素的组合有 4 个,它们是 (abc),(abd),(acd),(bcd).

从以上两组树图清楚的告诉我们,排列树图是对称的,组合图式不是对称的,之所以排列树图具有对称性,是因为对于 a,b,c,d 四个字母哪一个都有在第一位的机会,哪一个都有在第二位的机会,哪一个都有在第三位的机会,而组合只考虑字母不考虑顺序,为实现无顺序的要求,我们可以限定 a,b,c,d 的顺序是从前至后,固定了死顺序等于无顺序,这样组合就有了自己的树图.

学会画组合树图,不仅有利于理解排列与组合的概念,还有助于推导组合数的计算公式.

3 .排列组合的应用问题,教师应从简单问题问题入手,逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题,最后在设及排列与组合的综合问题.

对于每一道题目,教师必须先让学生独立思考,在进行全班讨论,对于学生的每一种解法,教师要先让学生判断正误,在给予点播.对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解,这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力,在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案,总结解题规律.对于学生解题中的常见错误,教师一定要讲明道理,认真分析错误原因,使学生在是非的判断得以提高.

4 .两个性质定理教学时,对定理 1 ,可以用下例来说明:从 4 个不同的元素 a b c d 里每次取出 3 个元素的组合及每次取出 1 个元素的组合分别是

这就说明从 4 个不同的元素里每次取出 3 个元素的组合与从 4 个元素里每次取出 1 个元素的组合是?一对应的.

对定理 2 ,可启发学生从下面问题的讨论得出.从 n 个不同元素 ,…, 里每次取出 m 个不同的元素( ),问:( 1 )可以组成多少个组合;( 2 )在这些组合里,有多少个是不含有 的;  ( 3 )在这些组合里,有多少个是含有 的;( 4 )从上面的结果,可以得出一个怎样的公式.在此基础上引出定理 2

对于 ,和 一样,是一种规定.而学生常常误以为是推算出来的,因此,教学时要讲清楚.

教学设计示例

教学目标

1 )使学生正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;

2 )使学生掌握组合数的计算公式;

3 )通过 学习 组合知识,让学生掌握类比的 学习 方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;

教学重点 难点

重点是组合的定义、组合数及组合数的公式;

难点是解组合的应用题.

教学过程 设计

(-)导入新课

(教师活动)提出下列思考问题,打出字幕.

[字幕]一条铁路线上有 6 个火车站,( 1 )需准备多少种不同的普通客车票?( 2 )有多少种不同票价的普通客车票?上面问题中,哪一问是排列问题?哪一问是组合问题?

(学生活动)讨论并回答.

答案提示:( 1 )排列;( 2 )组合.

[评述]问题( 1 )是从 6 个火车站中任选两个,并按一定的顺序排列,要求出排法的种数,属于排列问题;( 2 )是从 6 个火车站中任选两个并成一组,两站无顺序关系,要求出不同的组数,属于组合问题.这节课着重研究组合问题.

设计意图:组合与排列所研究的问题几乎是平行的.上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题.

(二)新课讲授

[提出问题 创设情境]

(教师活动)指导学生带着问题阅读课文.

[字幕] 1 .排列的定义是什么?

2 .举例说明一个组合是什么?

3 .一个组合与一个排列有何区别?

(学生活动)阅读回答.

(教师活动)对照课文,逐一评析.

设计意图:激活学生的思维,使其将所学的知识迁移过渡,并尽快适应新的环境.

【归纳概括 建立新知】

(教师活动)承接上述问题的回答,展示下面知识.

[字幕]模型:从 个不同元素中取出 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合.如前面思考题: 6 个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票,是从 6 个元素中取出 2 个元素的一个组合.

组合数:从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数,称之,用符号 表示,如从 6 个元素中取出 2 个元素的组合数为 .

[评述]区分一个排列与一个组合的关键是:该问题是否与顺序有关,当取出元素后,若改变一下顺序,就得到一种新的取法,则是排列问题;若改变顺序,仍得原来的取法,就是组合问题.

(学生活动)倾听、思索、记录.

(教师活动)提出思考问题.

[投影] 的关系如何?

(师生活动)共同探讨.求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ,可分为以下两步:

1 步,先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为

2 步,求每一个组合中 个元素的全排列数为

根据分步计数原理,得到

[字幕]公式 1

公式 2

(学生活动)验算 ,即一条铁路上 6 个火车站有 15 种不同的票价的普通客车票.

设计意图:本着以认识概念为起点,以问题为主线,以培养能力为核心的宗旨,逐步展示知识的形成过程,使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去.

【例题示范 探求方法】

(教师活动)打出字幕,给出示范,指导训练.

[字幕]例 1 列举从 4 个元素 中任取 2 个元素的所有组合.

2 计算:( 1 ;( 2

(学生活动)板演、示范 .

(教师活动)讲评并指出用两种方法计算例 2 的第 2 小题.

[字幕]例 3 已知 ,求 的所有值 .

(学生活动)思考分析.

首先,根据组合的定义,有

其次,由原不等式转化为

解得

综合①、②,得 ,即

[点评]这是组合数公式的应用,关键是公式的选择.

设计意图:例题教学循序渐进,让学生巩固知识,强化公式的应用,从而培养学生的综合分析能力.

【反馈练习 学会应用】

(教师活动)给出练习,学生解答,教师点评.

[课堂练习]课本 P99 练习第 2 5 6 题.

[补充练习]

[字幕] 1 .计算:

2 .已知 ,求 .

(学生活动)板演、解答.

设计意图:课堂教学体现以学生为本,让全体学生参与训练,深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用.

【点评矫正 交流提高】

(教师活动)依照学生的板演,给予指正并总结.

补充练习答案:

1 .解:原式:

2 .解:由题设得

整理化简得

解之,得 (因 ,舍去),

所以 ,所求

[字幕]小结:

1 .前一个公式主要用于计算具体的组合数,而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证.

2 .在解含组合数的方程或不等式时,一定要注意组合数的上、下标的限制条件.

(学生活动)交流讨论,总结记录.

设计意图:由“实践??认识??一实践”的认识论,教学时抓住“ 学习 ?一练习??反馈???小结”这些环节,使 教学目标 得以强化和落实.

(三)小结

(师生活动)共同小结.

本节主要内容有

1 .组合概念.

2 .组合数计算的两个公式.

(四)布置作业

1 .课本作业:习题 10 3 1 1 )、( 4 ), 3 题.

2 .思考题:某 学习 小组有 8 个同学,从男生中选 2 人,女生中选 1 人参加 数学 物理 化学 三种学科竞赛,要求每科均有 1 人参加,共有 180 种不同的选法,那么该小组中,男、女同学各有多少人?

3 .研究性题:

边上除顶点 外有 5 个点,在 边上有 4 个点,由这些点(包括 )能组成多少个四边形?能组成多少个三角形?

(五)课后点评

学习 了排列知识的基础上,本节课引进了组合概念,并推导出组合数公式,同时调控进行训练,从而培养学生分析问题、解决问题的能力.

作业参考答案

2 .解;设有男同学 人,则有女同学 人,依题意有 ,由此解得 2 .即男同学有 5 人或 6 人,女同学相应为 3 人或 2 人.

3 .能组成 (注意不能用 点为顶点)个四边形, 个三角形.

探究活动

同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,那么四张不同的分配万式可有多少种?

设四人分别为甲、乙、丙、丁,可从多种角度来解.

解法一 可将拿贺卡的情况,按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类,即:

甲拿乙制作的贺卡时,则贺卡有 3 种分配方法.

甲拿丙制作的贺卡时,则贺卡有 3 种分配方法.

甲拿丁制作的贺卡时,则贺卡有 3 种分配方法.

由加法原理得,贺卡分配方法有 3+3+3=9 种.

解法二 可从利用排列数和组合数公式角度来考虑.这时还存在正向与逆向两种思考途径.

正向思考,即从满足题设条件出发,分步完成分配.先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取 1 张,有 种取法,剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的 3 张贺卡中选取 1 张,也有 种,最后剩下 2 人可选取的贺卡即是这 2 人所制作的贺卡,其取法只有互取对方制作贺卡 1 种取法.根据乘法原理,贺卡的分配方法有 (种).

逆向思考,即从 4 人取 4 张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法.不满足题设条件的取法为,其中只有 1 人取自己制作的贺卡,其中有 2 人取自己制作的贺卡,其中有 3 人取自己制作的贺卡(此时即为 4 人均拿自己制作的贺卡).其取法分别为 1 .故符合题设要求的取法共有 (种).

说明( 1 )对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较复杂,且容易重复遗漏计算的排列组合问题,常可采用直接分类后用加法原理进行计算,如本例采用解法一的做法.

2 )设集合 ,如果 S 中元素的一个排列 满足 ,则称该排列为 S 的一个错位排列.本例就属错位排列问题.如将 S 的所有错位排列数记为 ,则 有如下三个计算公式(李宇襄编著《组合 数学 》,北京师范大学出版社出版):